viernes, 1 de abril de 2011

SISTEMAS DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA

SISTEMAS DE COLAS Ó LINEAS DE ESPERA

Parte de nuestra vida diaria es la de esperar algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, “hacemos cola” en la caja de algún almacén o banco. Y el fenómeno de la espera no es una experiencia que se limite sólo a las personas o seres humanos: los trabajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en círculo hasta que la torre de control les da permiso de aterrizar y los automóviles se detienen ante la luz roja de los semáforos. Desafortunadamente no se puede eliminar la espera sin incurrir en  gastos desmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar es reducir el impacto desfavorable a niveles tolerables[1].

 La teoría de colas es un área de la investigación de operaciones que estudia los sistemas que tienen que ver con clientes que necesitan un servicio, llegan a las instalaciones físicas donde se les brinda el servicio requerido y esperan mientras son atendidos. Después de recibido el servicio, se marchan de las instalaciones.

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando colas, mediante medidas representativas de eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera en ella, y la utilización promedio de las instalaciones.

 Históricamente, los primeros trabajos que comenzaron a dar cuerpo a la teoría de colas son los debidos al matemático-ingeniero danés A.K. Erlang, quien en 1909 publicó la teoría de probabilidades y las conversaciones telefónicas. Erlang era por entonces empleado de la compañía telefónica existente en teoría de probabilidad al problema de determinar el número óptimo de líneas telefónicas en una centralita, teniendo en cuenta la frecuencia de las llamadas y su duración. A él se le atribuye la distribución Erlang.
A pesar de que a comienzos del estudio de la teoría, las aportaciones fueron muy escasas, esta situación cambió notablemente a partir de los años 50, comenzando a publicarse gran número de trabajos sobre el tema. En la actualidad las aplicaciones de la teoría de colas en los campos de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías abren un mayor porvenir a esta teoría matemática[2].


ELEMENTOS O PARTES DEL SISTEMA

1.       Sistema de la Población: La conforman todos los clientes potenciales del sistema, que mas tarde o más temprano requerirán de algún servicio que brinda ese sistema. Su principal característica es su tamaño, el cual puede ser finito o infinito. Cada elemento de la población es llamado entidad.
2.       Sistema de cola: Está compuesto por todos los clientes que esperan por servicio
3.       Sistema de servidor: Es el componente del sistema de colas que se encarga de brindar el servicio a los clientes que lo requieren, está compuesta por uno o más canales de servicio o servidores, los cuales están en paralelo en caso de que sean varios[3].

A continuación se presenta una gráfica que ilustra los elementos del sistema de colas y cada uno de los procesos que se llevan a cabo en ellos:



El proceso de llegada puede ser medido de dos formas:

1.       Tiempo entre llegadas o lapso de tiempo: este se distribuye exponencialmente.
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente, ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribuciones es que no tienen “memoria”. Por ejemplo, su pongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, 10 horas o las que sea[4].

La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:

P(x)=λe-λx



Donde x representa el tiempo de servicio y λ el tiempo promedio de servicio.
En general nos interesa encontrar P(X<x), la probabilidad de que el tiempo de servicio T sea inferior o igual a un valor específico x. este valor es igual al área por debajo de la función de densidad.


1.       Tasa o Número de entidades en un intervalo de tiempo; la distribución poisson  proporciona una buena descripción del patrón de llegadas y esta caracterizado por cumplir las siguientes condiciones:
·         La probabilidad de que un suceso tenga lugar en un intervalo de tiempo o en una región es proporcional a la amplitud de dicho intervalo o región.
·         El número de sucesos que tienen lugar en un intervalo o región es independiente del número de sucesos que tienen lugar en otro intervalo o región[5].

La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico:


         Donde λ>0  es el parámetro que representa el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región.

A continuación se muestran gráficas de la distribución poisson para diferentes valores de λ





El proceso de servicio también puede ser medido de dos formas:
·         Tiempo entre llegadas o lapso de tiempo
·         Tasa de servicio

A.      K. Erlang, desarrolló principios para que el sistema de líneas de espera funcione, y definió lo siguiente:

·         Cola: hay cola cuando el número de entidades es mayor que el número de servidores; es decir, n>s.
·         Colapso del sistema: se da cuando la velocidad de entrada de las entidades al sistema es mayor que la velocidad del servicio.
·         La tasa de llegada debe ser estrictamente menor que el tiempo de servicio, es decir: λ<µ.
·         El proceso de cola debe ser poissoniano, es decir, el patrón de comportamiento de llegada debe seguir una distribución poisson y el de servicio, una distribución exponencial.

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE COLAS

  •        Una Sola Fase o fase sencilla:



  •         Multifase o Cascada:


  •  Fase sencilla con varios servidores:




NOTA: el canal o los canales es el número de servidores, no el número de colas.







[1] investigación de operaciones, Hamdy A. Taha pág. 579
[2] Introducción a la Simulación y a la teoría de colas, Ricardo Cao, pág. 113
[3] Control de inventarios y teoría de colas, Marcos Javier Molla, pág. 100-102
[4] Métodos cuantitativos para la toma de decisiones, Daniel serra de la Figuera pag 126
[5] Estadística descriptiva e inferencial, Antonio Vargas Sabadías, pág. 270



1 comentario:

  1. Este es un gran recurso que está proporcionando y lo dan de forma gratuita.

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